Excel содержит мощные средства вычислений по формулам. Формула представляет собой совокупность математических операторов, чисел, ссылок и функций, расположенных в определен-ном порядке. Результат вычисления помещается в ячейку, в которой находится формула. Создавая формулу, помните, что она должна начинаться со знака равенства “=” затем распола­гаются вычисляемые элементы (операнды) между которыми стоят знаки выполняемых операций (операторы).

В качестве операндов могут использоваться постоянные значения (числовые или текстовые константы), ссылки на ячейки или диапазоны ячеек, имена, логические величины (например, ИСТИНА или ЛОЖЬ) и массивы. Константой считается число или текст, которые непосред­ственно вводятся в ячейку, например, текст «Московские известия».

Формула также может включать встроенные функции, которые обеспечивают выполнение стандартных вычислительных операций. В Excel используется более 200 встроенных функций.

По умолчанию электронная таблица вычисляет формулы при их вводе, пересчитывает их повторно при каждом изменении входящих в них исходных данных.

Операторы, используемые в Microsoft Excel

В Excel используют следующие операторы:

· Арифметические операторы – применяются при работе с числами. Результатом выполнения арифметической операции всегда является число.

· Операторы сравнения – используются для сравнения двух чисел. В результате выполнения операции сравнения получается логическое значение: истина или ложь.

· Текстовый оператор – применяется для обозначения операции объединения нескольких после­довательностей символов в одну последовательность символов.

Назначение операторов приведено в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Назначение используемых в Excel операторов

Арифметический оператор	Назначение оператора
+ (знак плюс)	Сложение
- (знак минус)	Вычитание (или унарный минус, например, -1)
/ (косая черта)
* (звездочка)	Умножение
% (знак процента)
^ (крышка)	Возведение в степень
Операторы сравнения
= (знак равенства)
> (знак больше)
< (знак меньше)
>= (знак больше и знак равенства)	Больше или равно
<= (знак меньше и знак равенства)	Меньше или равно
<> (знак меньше и знак больше)
Текстовый оператор
& (амперсанд)	Объединение двух текстовых строк в одну
Адресные операторы
: (двоеточие)
; (точка с запятой)

Арифметические операторы

Арифметическими операторы получили наиболее широкое распространение. Они обеспечи­вают сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, нахождение процента по данным, приведенным в ячейках электронной таблицы. Примеры использования арифметических операторов приведены в табл. 2.3. Предполагается, что в ячейках А1, А2 и А3 содержатся числа 4, 5 и 10 соответственно.

Таблица 2.3

Примеры использования арифметических операторов

Excel выполняет вычисления в формулах слева направо и соблюдает принятый в математике приоритет выполнения арифметических операций. Первыми выполняются операции возведения в степень, затем умножение и деление, в последнюю очередь сложение и вычитание. для изменения порядка выполнения операций используются скобки.

Скобки должны быть парными, пробелы перед скобками или после них не допускаются, например:

15 – числовая константа,

“+” и “/” – операторы сложения и деления.

Операции в скобках выполняются первыми. Например, в формуле =(А1+А2+А3)/3 сначала вычисляется сумма чисел, содержащихся в ячейках А1, А2 и А3, потом найденная сумма делится на 3, в то время как в формуле =А1+А2+А3/3 на 3 делится только последнее слагаемое, а не вся сумма. Внутри скобок можно помещать другие скобки, что называется вложением скобок.

Ввод формулы в ячейку

Для ввода формулы в ячейку выделите ее и введите в строку формул или в ячейку знак “=”. Строка формул используется как средство, позволяющее создавать и изменять формулы.

При переходе в режим ввода формул поле Имя , расположенное в левой части строки формул, заменяется кнопкой, на которой отображена последняя использовавшаяся функция. Расположен­ная справа от нее кнопка со стрелкой открывает список, который содержит 10 последних исполь­зовавшихся функций и пункт Другие функции (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Окно Excel в режиме ввода формул

В качестве примера введем формулу в ячейку D4. Закончив ввод формулы, нажмем клавишу Enter или щелкнем в строке формул по кнопке Ввод. В ячейке, содержащей формулу, отобразится результат вычисления, сама формула будет видна в строке формул (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Отображение расчетной формулы в строке формул

ОТОБРАЖЕНИЕ ФОРМУЛЫ В ЯЧЕЙКЕ. При стандартной настройке в ячейке с формулой отображается результат вычислений, а не сама формула. В некоторых случаях, например, при составлении и проверке сложных расчетов в ячейке удобнее отображать не числовое значение, а саму формулу. Для отображения формул на рабочем листе выберите команду Параметры в меню Сервис , откройтевкладку Вид и в рамке Параметры окна установите флажок Формулы .

Для возврата к принятому режиму отображения формул снимите флажок. Чтобы перейти в режим отображения формул или вернуться в обычный режим нажмите клавиши Ctrl+` (клавиша обратного апострофа находится на той же клавише, что и тильда “~” – ниже клавиши Esc).

Например, нам надо подсчитать сумму чисел, хранящихся в ячейках А1, А2, А3. Щелкнем дважды ячейку А5 и поместим в нее формулу=А1+А2+А3. Чтобы вычислить сумму чисел, хранящихся в ячейках С1, С2, С3, можно не писать заново формулу, а скопировать ее из ячейки А5 в С5. Excel автоматически изменит относительные ссылки и формула примет вид = С1+С2+С3. Измененную формулу можно увидеть, щелкнув ячейку С5. (Для отображения формул в окне приложения установите флажок Формулы на вкладке Вид диалогового окна Параметры ).

Абсолютная ссылка сохраняет адрес определенной ячейки независимо от местоположения ячейки с формулой. Например, если скопировать формулу из ячейки А7 с абсолютными ссылками в ячейку С7, то формула не изменится. Для указания абсолютной ссылки используется знак доллара $. $А$7, $С$7 (рис. 2.15).

Рис. 2.15. Отображение формул с абсолютными и относительными ссылками в окне Excel

В тех случаях, когда при копировании или перемещении формулы необходимо сохранить неизменным только номер строки или только наименование столбца, применяют смешанную ссылку, например $D7 или F$5. Более подробно использование абсолютной ссылки в формуле рассмотрено ниже в разделе «Копирование формулы».

Можно ссылаться на ячейки, находящиеся на других листах книги или в другой книге, или на данные другого приложения. Ссылки на ячейки других книг называются внешними ссылками. Ссылки на данные других приложений называются удаленными ссылками.

При вводе ссылки на ячейку другого рабочего листа имя листа отделяется от имени ячейки восклицательным знаком. Если вводится ссылка на другую рабочую книгу, то указывается имя файла рабочей книги, которое заключается в квадратные скобки, например, [Книга2]Лист1!$C$3.

Копирование формул

Копирование содержимого одной ячейки (блока ячеек) в другую (блок ячеек) производится для упрощения ввода в таблицу однотипных данных и формул. При копировании формулы авто­матически изменяются относительные ссылки ячеек, входящие в формулу, в соответствии с ее новым положением на рабочем листе книги. Для запрета автоматической настройки адресов используют абсолютные ссылки ячеек. Исходная формула, подлежащая копированию или пере­мещению, воспринимается как некий шаблон, где указывается местоположение входных данных относительно местоположения ячейки с формулой.

КОПИРОВАНИЕ ФОРМУЛЫ МЕТОДОМ ПЕРЕТАСКИВАНИЯ. Приведем пример копиро­вания формулы методом перетаскивания. Предположим надо возвести в третью степень числа 5, 7 и 10, которые находятся в ячейках А3, А4 и А5. Результаты вычислений запишем соответственно в ячейки В3, В4 и В5. Выделим ячейку В3 и введем в нее формулу =А3^3 (символ “^” используется как оператор возведения в степень). Нажмем клавишу Enter. В ячейке появится результат 125. Выделим еще раз ячейку В3. Установим указатель мыши на маленький черный квадратик - маркер заполнения. Нажмем кнопку мыши и растянем рамку еще на две ячейки вниз. В выделенных ячей­ках отобразятся результаты вычислений: 343 и 1000. Щелкнем ячейку В4 – в строке формул увидим =А4^3, т.е. относительный адрес ячейки изменился.

Если при копировании формулы необходимо оставить ее адрес неизменным, то используется абсолютная ссылка. Напишем формулу в виде =$A$3^3. При копировании этой формулы в любое место таблицы всегда будут возведены в третью степень данные, находящиеся в ячейке А3. При копировании формулы относительные ссылки автоматически меняются, абсолютные ссылки не меняются.

КОПИРОВАНИЕ ФОРМУЛ С ПОМОЩЬЮ КОМАНДЫ КОПИРОВАТЬ В МЕНЮ ПРАВКА. Чтобы скопировать формулу, выделите ячейку с формулой и выберите в меню Правка команду Копировать . Затем выделите ячейку или диапазон ячеек, куда будет вставлена формула, и выбе­рите команду Вставить в меню Правка . Ячейки, в которые копируется формула, могут нахо­диться на другом листе или в другой книге. При копировании и при перемещении формул проис­ходит автоматическое изменение ссылок.

Стандартные функции Excel

Excel содержит обширный список стандартных функций, призванных облегчить выполнение простых и сложных вычислений. Функциями называются определенные формулы, обеспечи­вающие выполнение вычислений по заданным пользователем величинам в указанном порядке. Например, функция ДОХОД используется для вычисления дохода по облигациям, который составляет периодические процентные выплаты. Все функции имеют одинаковый формат записи, который включает имя функции и перечень аргументов. Аргументы располагаются в последова­тельности, определяемой синтаксисом функции, и разделяются запятой. Функция позволяет выполнить вычисления на листах книги и на листах макросов.

Функции вводят в таблицу в составе формул либо отдельно. Приведем некоторые функции, которые могут использоваться в электронных таблицах:

· математические;

· статистические;

· текстовые;

· логические;

· финансовые;

· функции даты и времени и др.

Математические функции используются в научных и инженерных расчетах для выполнения различных математических операций: вычисления логарифмов, тригонометрических функций, преобразование радиан в градусы и т. п.

Статистические функции используются для анализа диапазонов данных, вычисления пара­метров, характеризующих случайные величины, представленных множеством чисел, или их распределений, например стандартного отклонения, среднего значения, и т. п. В частности, мы можем найти уравнение прямой или экспоненциальной кривой, оптимально согласующейся с опытными данными.

Текстовые функции преобразуют числовое значение в форматированный текст, и результат больше не участвует в вычислениях как число. Они позволяет вычислить длину строки, преобра­зовать заглавные буквы в строчные и т.п. Для объединения нескольких текстовых строк в одну строку используется Амперсанд (&).

Например, в ячейке В3 вы можете записать фамилию продавца (Петров), в ячейке С3 – объем его продаж (5000). После записи в какой-нибудь ячейке В3& «продал»&ТЕКСТ(С3; "0,00 руб.")&" единиц товара» при проведении вычислений произойдет объединение содержимого ячеек в одну фразу: Петров продал на 5000,00 руб. единиц товара.

Логические функции используются для построения логических выражений, результат которых зависит от истинности проверяемого условия.

Финансовые функции используются в сложных финансовых расчетах, например определение нормы дисконта, размера ежемесячных выплат для погашения кредита, определение амортиза­ционных отчислений и др.

Функции для работы с датами и временем . Функция Дата вычисляет дату в числовом формате как число дней, прошедших с 1 января 1900 года. Функция Время – это доля 24 часового интервала, записанная в виде десятичной дроби, которая может принимать значения от 0 до 0,99999999. Нулю соответствуют 12:00:00 ночи. Часы изменяются от 0 до 23, минуты и секунды от 0 до 59.

Приведем примеры наиболее часто встречающихся функций.

СУММ(Список) – статистическая функция определения суммы всех числовых значений в Списке. Список может состоять из адресов ячеек и блоков, а также числовых значений.

СУММ(А2:А5;С1:С8)

СрЗнач(Список)– статистическая функция определения среднего арифметического значения всех перечисленных в Списке величин.

СрЗнач(B1:B10)

МАКС(Список) – статистическая функция, результатом которой является максимальное значение в указанном Списке.

МАКС (А3:А8;253)

IF (Условие, Истинно, Ложно) – логическая функция, проверяющая на истинность заданное логическое условие. Если условие выполняется, то результатом функции является значение аргу­мента "Истинно". Если условие не выполняется, то результатом функции становится значение аргумента "Ложно".

IF (B4<100, 100,200)

– если ячейка В4 содержит число меньше 100, то функции присваивается значение 100, если же это условие не выполняется (т.е. содержимое ячейки В4 больше или равно 100), функции присваивается значение 200.

РАЗЛИЧНЫЕ ВАРИАНТЫ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТОВ. В большинстве случаев Excel предусматривает несколько вариантов выполнения расчетов. Покажем это на примере суммирова­ния данных. Для сложения чисел в диапазоне ячеек используется функция СУММ, которая явля­ется самой часто используемой функцией.

Введем слагаемые в ячейки D3, D4, D5. Суммирование можно выполнить следующими спосо­бами:

I способ .

Выделим ячейку D6 и введем в нее формулу для расчета, сделав ссылку на ячейки, содержа­щие исходные данные:

Нажмем клавишу Enter, и в ячейке D6 появится результат.

II способ

Введем знак “=” в ячейку D6, щелкнем ячейку D3 - после знака равенства в ячейке D6 отобра­зится адрес ячейки D3.

Поставим знак “+” и щелкнем ячейку D4. В ячейке D6 появится запись “=D3+D4”. Введем знак “+”, щелкнем ячейку D5 и нажмем клавишу Enter. В ячейке D6 появится результат

III способ .

Щелкнем ячейку D6 и нажмем кнопку Автосумма на панели инструментов Стандартная . В ячейке появится запись =СУММ(D3:D5), т.е. предлагается провести суммирование данных, запи­санных в ячейках от D3 до D5, расположенных в одном столбце с D6.

Нажмем клавишу Enter и мы увидим результат суммирования. При выделении диапазона ячеек и нажатии кнопки Автосумма в пустую ячейку, следующую за диапазоном, будет вставлена формула подсчета суммы этих ячеек.

IV способ .

Выделим ячейку D6 и введем в нее с клавиатуры формулу, содержащую функцию = СУММ (D3:D5).

V способ.

Щелкнем ячейку D6 и воспользуемся для ввода формулы мастером функций.

Использование ссылок в функциях

Чтобы сослаться на диапазон ячеек, введите ссылку на верхнюю левую ячейку диапазона, поставьте двоеточие (:), а затем – ссылку на правый нижний угол диапазона. Например, A2:C5. Ссылка на все ячейки между 6-й и 15-й строками включительно имеет вид 6:15, на все ячейки в столбце С – С:С.

Примеры записей диапазонов ячеек в функции:

· =СУММ(Е:Е) – определяется сумма числовых значений, содержащихся в столбце Е;

· =СУММ(Е2:G5) – подсчитывается сумма числовых значений, расположенных в диапазоне от Е2 до G5;

· =СУММ(5:5) – суммируются данные всех ячеек пятой строки;

· =СУММ(2;4) – подсчитывается сумма 2+4.

Допускается смешанная запись адресов ячеек и блоков ячеек. В этом случае формула может выглядеть следующим образом:

СУММ(С8;D4;Е2:E5;F5)

Выполнение расчета с использованием стандартных функций

Запись функции начинается с указания ее имени, затем следует открывающаяся скобка, аргу­менты и закрывающая скобка. Функция может не иметь аргументов. Она может вводиться в ячейку листа как часть формулы. Функция позволяет выполнить вычисления на листах книги и на листах макросов.

Для вставки функции нажмите кнопку Вставка функции , На экране отобразится панель формул. Панель формул появляется также при нажатии кнопки Вставка функции на панели инст­рументов Стандартная . При неправильной записи формулы на экране может появиться сообщение о циклической ссылке. Имена функций можно набирать строчными буквами. Они будут преобра­зованы в прописные после нажатия клавиши Enter. Функции, являющиеся аргументом другой функции, называются вложенными. В формулах Excel можно использовать до семи уровней вложения функций.

Чтобы выполнить расчет, используя стандартную функцию, выполните следующие действия:

1. Выделите ячейку, в которую надо вставить функцию, введите “=”, а затем в раскрываю­щемся списке Функции в строке формул выберите нужную из списка. На экране отобразится диалоговое окно Аргументы функции. Если в раскрывающемся списке выбрать Другие функции, то откроется диалоговое окно Мастер функций – шаг 1 из 2 (рис. 2.16).

Другие способы отображения диалогового окна Мастер функций – шаг 1 из 2 :

· нажмите кнопку Вставка функции в строке формул;

· выберите команду Функция в меню Вставка .

Рис. 2.16. Диалоговое окно мастера функций – шаг 1 из 2

2. В диалоговом окне Мастер функций – шаг 1 из 2 в поле Поиск функции введите описание действия, которое вы хотели бы выполнить. Например, чтобы найти функции, связанные с лога­рифмами чисел, введите log . Если вы не знаете, к какой категории относится ваша функция, то в раскрывающемся списке или категория выберите строку Полный алфавитный перечень и просмотрите список всех функций в алфавитном порядке. Полоса прокрутки позволяет просмот­реть невидимые в данный момент элементы списка. В нижней части окна дается определение выделенной функции и ее аргументов. Чтобы получить описание функции, выберите функцию в списке и щелкните ссылку Справка по этой функции . Выделите нужную строку в списке Выбе­рите функцию и нажмите кнопку OK или клавишу Enter.

3. На экране отобразится диалоговое окно Аргументы функции (рис. 2.17). В верхней части окна размещаются поля, предназначенные для ввода аргументов, в нижней части – справочная информация: имя выбранной функции, все ее аргументы, назначение функции и каждого аргу­мента, текущий результат функции и всей формулы. В тех случаях, когда аргумент приведен полужирным шрифтом, он является обязательным, если обычным шрифтом, то его можно пропус­тить.

Чтобы панель формул не закрывала диапазон ячеек с данными, ее можно переместить, удер­живая нажатой кнопку мыши. Чтобы ввести в качестве аргумента ссылку на ячейку, щелкните значок, расположенный у правой границы поля.

Высота диалогового окна уменьшится. Выбрав ячейки, щелкните значок, позволяющий вернуть диалоговому окну первоначальный размер. Если диалоговое окно Аргументы функции позволяет ввести несколько аргументов, то переход от одного поля аргумента к другому можно выполнять клавишей Tab. После ввода аргументов будет выведен текущий результат.

Рис. 2.17. Использование панели формул для оценки дисперсии по выборке

ПРИМЕР 1. Excel помогает вычислить различные справочные данные, не пользуясь справочниками. Найдите десятичный логарифм числа 250. Выполните упражнение следующим образом:

Вставка функции Мастер функций – шаг 1 из 2 Категория выделите строку Математические, а в нижнем списке Выберите функ­цию – LOG10 и нажмите кнопку OK . На экране отобразится диалоговое окно Аргументы функции (рис. 2.18). Введите число 250 в строку Число диалогового окна и получите результат 2,398.

Рис. 2.18. Вычисление десятичного логарифма

ПРИМЕР 2. Найдите значения тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса для угла 10 градусов.

Выделите ячейку, в которую надо вставить функцию, и нажмите кнопку Вставка функции в строке формул. В диалоговом окне Мастер функций – шаг 1 из 2 (см. рис. 2.16) в раскрываю­щемся списке Категория выделите строку Математические, а в нижнем списке Выберите функ­цию выберите соответствующую тригонометрическую функцию и нажмите кнопку ОК . Введите число 10 в строку Число диалогового окна Аргументы функции и увидите результат. Для справки приведем значения тригонометрических функций: sin 100=0,17, cos100=0,98, tg 100=0,18, ctg 100=5,67.

ПРИМЕР 3. Определите среднее арифметическое значение следующих величин: 5, 20, 10, 8. Разместите указанные величины в различных ячейках, например, В6, B10, B13 и B17. Установите курсор в ячейке, в которой будет расположен результат вычислений и нажмите кнопку Вставка функции в строке формул. В диалоговом окне Мастер функций – шаг 1 из 2 (см. рис. 2.16) в раскрывающемся списке Категория выделите строку Статистические, а в нижнем списке Выбе­рите функцию установите СРЗНАЧ. В окне Аргументы функции нажмите кнопку свертывания окна, расположенную справа от поля Число 1 и выделите диапазон ячеек, в котором расположены числа. Нажмите клавишу Ввод . В нижней части окна Аргументы функции вы прочтете значение среднего, которое после нажатия кнопки ОК будет помещено в заданную вами ячейку.

Примечание

В любую ячейку рабочей книги можно вставить примечание, содержащее дополнительную информацию. Выделите ячейку и выберите команду Примечание в меню Вставка . На экране рядом с ячейкой появится рамка с именем автора примечания. В рамку вводится текст примеча­ния, относящийся к этой ячейке. Автор примечания указывается на вкладке Общие в диалоговом окне Параметры, отображаемого на экране после выбора одноименной командыв меню Сервис . Размер рамки определяет не объем информации, представленной в примечании, а только какая часть примечания будет отображена на экране. При задержке указателя мыши в ячейке, содержа­щей значок примечания (красный треугольник в правом верхнем углу ячейки), автоматически будет выведено всплывающее окно с текстом примечания.

Если на вкладке Вид диалогового окна Параметры в группе Примечания переключатель уста­новлен в положение Только индикатор, то ячейки, содержащие примечания, помечаются в верх­нем правом углу индикатором, имеющим вид красного треугольника. Если переключатель нахо­дится в положении Примечание и индикатор, то видны как индикатор, так и часть примечания, ограниченная рамкой (рис. 2.19).

Рис. 2.19. Отображение индикатора и текста комментария ячейки

Примечания, сделанные разными пользователями для одной ячейки, будут выводиться в одном окне примечаний и помечаться именами соответствующих пользователей. Эта возможность может быть использована вместе с портфелем Windows. Пользователь может работать с копией общей книги, отсоединившись от локальной сети, затем поместить ее в портфель и объединить с другими копиями при восстановлении подключения к сети.

Сообщение об ошибке

Сообщение об ошибке начинается со знака #, например, если при выполнении расчетов в ячейке появится #ЗНАЧ!, то это означает, что программа не может найти исходные данные. В зависимости от причины возникновения ошибки меняется вид сообщения. Так, сообщение #ДЕЛ/0! появляется, когда в формуле предлагается провести деление на ноль (рис. 2.20). При подводе указателя мыши к значку смарт-тега рядом с ними отображается, кнопка. Щелкните значок, чтобы открыть меню, из которого вы узнаете, какого типа ошибка обнаружена, сможете просмотреть этапы вычислений, провести изменения в строке формул и т.д.

Рис. 2.20. Сообщение об ошибке

Если Excel считает, что ошибку во введенном выражении можно исправить, то появится окно с предложением, как отредактировать формулу.

В процессе решения различного рода задач, как учебных, так и практических, пользователи нередко обращаются к программе Excel.

Электронные таблицы позволяет проводить анализ данных, строить диаграммы и графики, а также выполнять разнообразные вычисления. Одной из распространенных операций является вычисление процентов. Умение грамотно производить необходимые расчеты – полезный навык, который находит успешное применение практически во всех сферах жизни. Какие техники помогут посчитать проценты с помощью таблиц Excel?

Как посчитать проценты в Excel – основная формула расчета

Прежде, чем приступить к вычислению процентов, необходимо определиться с терминологией. Термин «процент» означает количество долей из всех 100 долей целого. Математическое определение процента – дробь, числитель которой определяет искомое количество частей, а знаменатель – общее. Результат умножается на 100 (т.к. целое – 100%). Работая с электронной таблицей, формула для определения процента выглядит следующим образом:

Часть/целое = Процент

От привычной в математике интерпретации отличает лишь отсутствие дальнейшего умножения на 100. Получить необходимый формат значения помогут свойства полей таблицы – достаточно активировать Процентный формат ячейки.

Пример 1

Перед вами ряд данных, внесенных, например, в колонку D (D2, D3, D4, D5, …). Необходимо рассчитать, 5% от каждого значения.

• Активируете соседнюю с первым значением (или любую другую) ячейку – в ней будет располагаться результат вычислений.
• В ячейке E2 записываете выражение «=D2/100*5» или «=D2*5%».
• Жмете Enter.
• «Протяните» ячейку E2 на необходимое число строк. Благодаря маркеру автозаполнения по указанной выше формуле будет произведен расчет и для остальных значений.

Пример 2

Перед вами находятся 2 колонки значений – например, реализованные пирожные (D2, D3, D4, D5, …) и общее количество выпечки (E2, E3, E4, E5, …) каждого вида. Необходимо определить, какая часть продукции реализована.

• В ячейке, где будет рассчитан результат (например, F) записываете выражение «=D2/E2».
• Жмете Enter и «протягиваете» ячейку на необходимое число строк. Использование маркера автозаполнения позволит применить данную формулу для всех последующих ячеек и произвести верные расчеты.
• Для перевода результата в формат процентов выделите необходимые ячейки и воспользуйтесь командой Percent Style. Для активации последней можно кликнуть правой клавишей мыши и выбрать в появившемся перечне пункт «Формат ячеек» – «Процентный». При этом вы указываете желаемое число десятичных знаков. Или же перейдите в раздел «Главная» – «Число» и выберите вид «Процентный».

Как посчитать проценты в Excel – процент от суммы

Для вычисления доли каждой части относительно общей суммы используйте выражение «=A2/$A$10», где A2 – интересующее значение, общая сумма указана в ячейке A10. Как быть, если интересующая вас позиция встречается в таблице несколько раз? В таком случае воспользуйтесь функцией SUMIF (СУММЕСЛИ) с параметрами:

SUMIF(range,criteria,sum_range)/total

СУММЕСЛИ(диапазон;критерий;диапазон_суммирования)/общая сумма

• Перемещаетесь в ячейку, где будет получен результат.
• Записываете выражение «=СУММЕСЛИ(C2:C10;F1;D2:D10)/$D$14» (или =SUMIF (C2:C10;F1;D2:D10)/$D$14), где

C2:C10, D2:D10 – диапазоны значений, в пределах которых происходят вычисления,

F1 – ячейка, в которой указана исследуемая характеристика,

D14 – ячейка, в которой рассчитана сумма.

Как посчитать проценты в Excel – изменение в процентах

Необходимость в таких вычислениях часто возникает в ходе оценки прироста или убыли по результатам деятельности. Итак, объемы продаж по категориям продукции за 2015г. внесены в колонку D, аналогичные данные за 2016г. – в колонку E. Необходимо определить на сколько процентов увеличился или уменьшился объем продаж.

• В ячейке F2 указываете формулу «=(E2-D2)/D2».
• Переводите данные ячейки в формат Процентный.
• Для вычисления прироста или убыли для остальных категорий (ячеек), протяните F2 на необходимое количество строк.
• Оцениваете результат. Если значение положительное – вы имеете прирост, если отрицательное – убыль.

Speaker Deck SlideShare

Основы использования формул в Excel. Правила ввода формул, разрешенные математические операции, порядок вычисления. Функция и формула, часто используемые функции группы Автосумма.

Навыки экзамена Microsoft Office Specialist (77-420):

Теоретическая часть:

1. Построение простых формул

Видеоверсия

Текстовая версия

Именно возможность производить различного рода вычисления и снискали мировую популярность табличному процессору Excel из пакета Microsoft Office.

До этого занятия мы фактически не использовали Excel для проведения расчетов, начиная с данного занятия попытаемся если не полностью раскрыть, то продемонстрировать тот потенциал, который заложен в эту программу.

Основы построения формул

Если в начале ячейки поставить знак «=», то Excel начинает воспринимать ячейку как формулу.

В качестве простейшего примера формулы можно представить простую операцию суммирования двух чисел, вычитания, умножения и деления. В Excel работают стандартные математические операции и последовательность их применения.

По умолчанию, в ячейке, содержащей формулу, для пользователя отображается результат ее вычисления, если нужно посмотреть сами формулы, сделать этом можно командой отображения формул «Показать формулы», группа «Зависимости формул», вкладка «Формулы», либо нажать горячее сочетание Ctrl+` (клавиша тильда стоит в начале цифрового ряда на клавиатуре).

Горячее сочетание

Ctrl+` переключает режимы отображения данные/ формулы в Excel

Формула представляет собой уравнение, которое производит вычисления такие как: сложение, вычитание, умножение, деление. В Excel, в качестве значений формулы может быть число, адрес ячейки, дата, текст, булево значение (правда или ложь). чаще всего это либо число, либо адрес ячейки.

Константа – это значение, которое вводится непосредственно в формулу (число, текст, дата).

Переменная – это символьное обозначение значения, которое находится вне формулы.

Оператор вычисления определяет само вычисление, для того, чтобы Excel начал производить вычисление в формуле в начале надо поставить знак «=». Excel поддерживает работу со следующими типами арифметических операторов:

Во время введения формулы, операторы и значения отображаются и в ячейке, и в самой формуле, когда ввод закончен в строке формул будет формула, тогда как в ячейке – результат ее работы.

Порядок вычисления формулы

Когда в формуле применяется несколько вычислительных операторов, то порядок их вычисления подчинен общим математическим правилам. Следующий порядок применяется при расчете формулы (записано в порядке убывания приоритета вычисления):

1. Отрицательные значения (-);
2. Проценты (%);
3. Возведение в степень (^);
4. Умножение (*) и деление (/);
5. Сумма (+) и разность (-).

Если рядом находятся два или более вычислительных операторов, которые находятся на одном уровне, то порядок их вычисления идет слева на право. Например, «=5+5+3-2», хотя здесь этот порядок имеет значение сугубо для логики произведения вычисления, т.к. отнимите вы число «2» в конце вычисления или в начале на результат не повлияет. Если возникает необходимость повысить приоритет вычисления отдельной части формулы, то, как и в математике, нужно эту часть заключить в круглые скобки.

Несколько примеров работы вычислений в Excel:

Горячее сочетание

Если во время ввода формулы вы передумали, то просто нажмите «Esc» и значение в ячейке не будет изменено. Если формулу уже изменили (завершили ввод с помощью Enter), то вернуть старое значение можно с помощью команды «Отменить» на панели быстрого доступа или сочетания Ctrl+Z.

Для того, чтобы отредактировать существующую формулу, необходимо установить курсор в ячейку с формулой и нажать клавишу «F2», либо кликнуть в строку формул, либо дважды кликнуть по целевой ячейке.

1. Использование ссылок в формулах

Видеоверсия

Текстовая версия

Ранее упоминалось, что одним из значений, которые используются в формулах, являются переменные. Переменные используются намного чаще нежели константы, более того, рекомендуется все константы заменять переменными (подробнее об этом поговорим в разрезе рассмотрения абсолютных ссылок).

Каждая ячейка находится на пересечении строк и столбцов и имеет соответствующее обозначение:

• «E2» – столбец «E», вторая строка;
• «F2» – столбец «F», вторая строка;
• «G2» – столбец «F», вторая строка.

Преимущество такой записи заключается в том, что при изменении значений в ячейках, задействованных в формуле, результат вычисления формулы также изменится. Естественно формулы могут содержать и ссылки (переменные), и числа (константы) одновременно.

В рассмотренном примере был рассмотрен самый простой тип ссылок – относительные ссылки, принцип его работы легко понять на примере пересчета дневного заработка в другою валюту.

Простая формула пересчета актуального заработка в рубли вводится в ячейку C2, а потом, с помощью маркера автозаполнения растягивается на остальные дни, как можно заметить, для ячейки C3 в формуле используется заработок за 02.03.2016, хотя формула вводилась «=B2*71», т.е. при сдвиге на одну ячейку вниз, введенная относительная ссылка, также меняет свой адрес. То же самое происходит, если растянуть маркер автозаполнения в любую из сторон (влево, вправо, вверх или вниз), относительная ссылка всегда будет находится на одном расстоянии от ячейки с формулой, где она используется. В данном случае, это на одну ячейку влево, т.е., если потянуть маркер автозаполнения вправо, то в формуле будет использоваться столбец «C» (и число в зависимости от текущей строки).

Ссылки в формулы Excel можно вводить непосредственно с клавиатуры (только не забыть указывать названия столбцов в английской раскладке), но более распространенным способом является клик левой клавиши мышки по той ячейке, использование которой предполагается в формуле. Например, в примере выше можно посчитать общую сумму заработка просто кликая на целевые ячейки и плюсуя их.

Для улучшенного визуального восприятия ссылок в формуле, ячейки подсвечиваются различными цветами.

В примере перерасчета заработка из долларов в рубли мы использовали курс пересчета как константу, т.е. вводили число непосредственно в саму формулу. Если курс будет меняться (а он будет меняться), то придется переделать формулу и не забыть воспользоваться автозаполнением для размножения ее на другие ячейки, что довольно неудобно.

Абсолютная ссылка – это ссылка на ячейку, адрес которой не меняется при автозаполнении диапазонов. Для того, чтобы сделать ссылку абсолютной нужно в обозначении ссылки перед идентификатором столбца и строки поставить по знаку доллара.

Знак доллара можно ввести с клавиатуры, но быстрее будет нажать клавишу «F4» на относительной ссылке, т.е. на ссылке на которой установлен курсор. Повторное нажатие на клавишу «F4» будет убирать/добавлять знак $ возле строки/столбца. Будут появляться промежуточные значения, ссылки с одним знаком доллара – это смешанные ссылки, их рассмотрение будет чуть позже.

Теперь, когда курс в формуле зафиксирован абсолютной ссылкой, то при его изменении, достаточно единожды изменить ячейку F1 и все формулы, которые используют значение данной ячейки будут пересчитаны автоматически, а при растягивании формулы в любую из сторон формула всегда будет ссылаться на одну и ту же конкретную ячейку.

В начале рассмотрения данного вопроса мы упоминали, что в формулах использование констант лучше свести к минимуму. Лучшим решением будет заменить их абсолютными ссылками, которую, к тому же, можно еще и будет подписать.

При автозаполнении относительная ссылка будет изменяться всегда, вне зависимости от направления автозаполнения, абсолютная никогда не будет изменяться. Как быть, если нужно, чтобы при автозаполнении формулы вниз или вверх ссылка менялась, а при движении влево или вправо – нет, или наоборот, при растягивании влево или вправо изменялась, а при движении вверх или вниз оставалась неизменной?

В таком случае следует использовать смешанные ссылки. Смешанная ссылка – это ссылка, которая по одному из направлений (строке или столбце) абсолютная, а по другому – относительная. Какая часть ссылки ведет себя как абсолютная ссылка определяется знаком доллара.

Например, в рассмотренном примере перевода дневного заработка, абсолютную ссылку курса рубля к доллару можно заменить на F$1 и ничего не поменяется, т.к. строку мы зафиксировали, а столбец и так не менялся. Чтобы сделать более наглядную презентацию, можно расширить таблицу пересчетами в дополнительные валюты.

Здесь используется два вида смешанных ссылок: первый ссылается на сумму заработка в долларах и зафиксирован по столбцам позволяет, растягивая формулу вниз, использовать для каждого дня свой заработок, а второй ссылается на курс зафиксирован по строкам позволяет изменять курс при автозаполнении формулы влево или вправо. Здесь важно понимать, что для пересчета заработка в три валюты формула была введена всего ОДИН! раз в ячейку C4. Все остальные ячейки были заполнены с помощью автозаполнения.

Какие еще бывают типы ссылок

Все ссылки, которые мы рассматривали, ссылались на ячейки того же листа, где была расположена формула, однако пользователь может делать ссылки на ячейки другого листа. При этом все правила, рассмотренные ранее об относительны, абсолютных и смешанных ссылках, работают также, например, можно вынести курсы валют на другой лист, единственное что изменится, так это то, что перед ссылкой будет имя листа, которое заключено в одинарные кавычки и отделено от самой ссылки восклицательным знаком.

Это еще не все ссылаться можно и на ячейки, которые находятся в других книгах, это уже внешние ссылки, в этом случае в записи ссылки будет фигурировать и имя книги.

1. Использование диапазонов данных в формулах

Видеоверсия

Текстовая версия

В Excel группа ячеек именуется диапазоном. Группы ячеек могут быть смежными, а могут находится на расстоянии друг от друга. Вы можете назначать имена группам ячеек, менять границы диапазонов, после определения их имени и использовать имена в формулах вместо простых безымянных ссылок на ячейки.

Именование диапазонов данных

Если вы часто работаете с определенным диапазоном, дать ему имя бывает достаточно удобно, чтобы в последствии оперировать не безымянным диапазоном/ячейкой: «C3:C15», а понятным «прибыль_2015» и т.п.

Для именования и навигации по именованным диапазонам и ячейкам используется группа «Определенные имена» вкладки «Формулы», а также окно «Имя» (Name box), которое мы начали рассматривать во втором вопросе второго занятия.

Самый простой способ именования диапазона с помощью окошка «Имя» присвоит имя диапазону с параметрами по умолчанию, т.е. именованный диапазон будет работать на всех листах книги, если давать имя с помощью команды «Присвоить имя», то в появившемся диалоговом окне можно настроить дополнительные параметры, самым важным из которых является область действия именованного диапазона.

По умолчанию область действия определена на уровне книги, т.е., если вы создаете на одном из листов книги именованный диапазон, то его можно будет использовать на любом листе книги, а также нельзя создать второй именованный диапазон с таким именем. Пользователь может изменить область действия именованного диапазона во время его создания, выбрав один из существующих листов в книге. Этот лист не обязан совпадать с листом, на котором расположен сам диапазон, в этом случае можно создать несколько диапазонов с одинаковыми именами, но каждый будет действовать на «своем» листе.

Еще один способ быстрого создания именованного диапазона – это с использованием команды «Создать из выделенного», в той же группе «Определенные имена». Суть заключается в том, что выделяется диапазон вместе с заголовком, который и будет носить имя диапазона остальной части диапазона. Excel, кстати, сам определил какую ячейку выделить под имя диапазона.

Выделение столбца «В евро» и использование команды «Создать из выделенного» равнозначно выделению диапазона E4:E13 и присвоение ему имени «В_евро».

Посмотреть все именованные диапазоны, удалить ненужные, изменить у какого-нибудь диапазона его диапазон можно в диспетчере имен, который вызывается одноименной командой из группы «Определенные имена».

Как использовать именованные диапазоны

Именованные диапазоны используются в формулах наравне со стандартными диапазонами, но есть некоторые особенности. Во-первых, именованный диапазон ВСЕГДА является абсолютной ссылкой, во-вторых, в формуле достаточно начать писать имя именованного диапазона и Excel его предложит, если есть несколько похожих («заработок_доллары», «заработок_гривны» и т.д.) то можно мышкой будет выбрать нужный.

Именованный диапазон в формулу можно вставить с помощью команды «Использовать в формуле» группы «Определенные имена».

Именованные диапазоны идеально подходят для использования совместно с функциями, работающими с диапазонами, плотно к рассмотрению функций мы подойдем чуть позже, а начнем уже сейчас.

Например, в примере расчета и перевода в различные валюты, дневного заработка мы подсчитывали общую сумму в долларах простым сложением дневных доходов. В реальной работе Excel так делать неправильно, поскольку есть функции автоматизирующие данные операции. Подсчитаем суму доходов в разных валютах, используя ссылки на диапазоны, а потом сделаем тоже, только в качестве аргументов введем имена диапазонов.

Если не использовать имена ячеек, то можно подсчитать сумму заработка в одной валюте, а для других заполнить с помощью автозаполнения. С именованными диапазонами такой «фокус» не пройдет, т.к. диапазону присваивается абсолютная ссылка, однако, если нужно будет просуммировать диапазон, который находится вне поля зрения, то использование имени, вместо ссылок будет предпочтительнее.

Если в книге создано много именованных диапазонов, или вы просто не помните имя нужного диапазона ячеек, в помощь придет диалоговое окно «Вставка имени», которое удобно использовать при составлении формулы и которое вызывается с помощью команды «Использовать в формуле», группа «Определенные имена».

В заключение рассмотрение темы именования диапазонов данных можно указать правила для создания диапазонов:

1. Длина имени не более 255 символов.
2. Начинаться имя диапазона может либо с буквы, либо с символов «_» и «\». В самом имени можно использовать цифры, буквы, знак подчеркивания. Например, «\имя_ячейки», или «_имя\ячейки.1» – допустимые названия, а «1имя_ячейки» – нельзя т.к. начинается с цифры.
3. Имя не может состоять из одиночных букв: «R», «r», «C»,»c», поскольку их ввод в окошко «Имя» приводит к выделению строки (row) или столбца (column).
4. В именах нельзя использовать пробелы, Microsoft рекомендует их заменять символом подчеркивания «_» или точкой «.». Например, «доходы_октябрь», «прибыль.год».
5. Имя диапазона не может быть таким же как имя ссылки, например, «A5» или «$B$5».

1. Введение в функции. Отображение дат и времени с помощью функций

Видеоверсия

Текстовая версия

Некоторые вычисления пользователи совершают чаще остальных, некоторые вычисления являются обязательными для определенной области. Чтобы каждый раз не вводить формулу вручную в Excel разработали функции. Функция фактически являет собой предопределенную формулу, например, формулу суммы, которую мы ранее уже немного рассматривали.

В Excel предусмотрено большое количество функций от достаточно простых, например, среднее, подсчет количества ячеек, минимальное, сумма и т.п., до сложных статистических или финансовых вычислений, например, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.д.

Удобный справочник по работе с функциями представлен на нашем сайте:

Введение в функций

На заметку

Названия функций не чувствительны к регистру, однако, в Excel они пишутся заглавными буквами для удобочитаемости. Правда пользователю писать заглавными нет надобности, поскольку Excel самостоятельно преобразует в имени функции строчные буквы в прописные.

Вызвать функцию для вставки в формулу можно несколькими способами:

Как вы уже заметили функции суммы, среднего, максимума и минимума используются чаще остальных, поэтому они даже выведены в отдельную группу. На самом деле очень быстро узнать эти величины можно даже без ввода формул. На строке состояния у пользователя есть возможность вывести быстрый подсчет среднего, количества, количества числе, максимум и минимум (галочкой отмечены выведенные на панель состояния подсчеты в данный момент).

Для суммы есть горячее сочетание клавиш «Alt+=», можно просто ввести его возле диапазона с данными и Excel выделит наиболее подходящий (по мнению программы) диапазон, который можно откорректировать, а можно выделить диапазон и нажать горячее сочетание и Excel в зависимости от диапазона (горизонтальный или вертикальный) поместит суммы в ячейку под, или над диапазоном.

Функции даты и времени

В Excel даты фактически являют собой числовые значения, но отформатированы так чтобы выглядеть как дата. То де самое относится и ко времени. Данное утверждение легко проверить просто, введя любое положительное число и отформатировав его соответствующим образом. Именно по этой причине возможны арифметические операции с датами, например, можно вычислить количество дней между двумя датами просто вычтя из одной даты другую.

Отправной точкой для дат является 1 января 1900 года, т.е. именно в эту дату будет преобразовано число «1», если выставить соответствующе форматирование, «2» = это 2 января 1900 года и т.д. Даты можно складывать, вычитать, умножать, делить ровно также, как это делается с числами.

В Excel по умолчанию все ячейки имеют числовой формат «Общий», это означает, что табличный процессор попытается подстроить форматирование в зависимости от введенных данных.

Например, введя «15.03.2016» числовой формат будет установлен на «Дата», если потом просто удалить дату с помощью клавиши Del (равнозначно очистке содержимого) и ввести число, например, 5, то в ячейке отобразится дата: 05.01.1900. Поэтому нужно либо полностью очищать ячейку (вместе с форматами), либо после ввода данных изменить числовой формат ячейки.

Функция СЕГОДНЯ (TODAY)

Функция СЕГОДНЯ () или TODAY () в английской версии Excel проста в понимании и ее синтаксист предельно прост, т.к. аргументы отсутствуют в принципе. Данная функция возвращает текущую дату. При открытии книги всегда будет отображена актуальная дата, поэтому если нужно зафиксировать конкретную дату ее придется ввести вручную.

Ввод любой формулы должен начинаться со знака «=», если формула состоит из одной функции, то перед ней следует поставить «=», если функция добавляется в середине формулы повторно равно ставить нельзя. В формуле может присутствовать только один знак «=».

Само по себе использование функции СЕГОДНЯ выглядит не самым интересным занятием, но нужно понимать, что при построении формул мы может использовать несколько функций. Для примера можно использовать СЕГОДНЯ, при вычислении своего возраста, в этом случае формула примет вид:

Функция ТДАТА (NOW)

Функция ТДАТА () или NOW () в английской версии Excel, очень похожа на предыдущую за тем лишь исключением, что возвращает не просто текущую дату, но и точное время. Время в Excel представлено дробным числом.

Обновление текущего времени происходит каждый раз при открытии файла, или при пересчете листа.

1. Работа с часто используемыми функциями (Автосумма)

Видеоверсия

Текстовая версия

В Excel множество функций, некоторые из них используются редко, некоторые будут интересны только определенной категории работников, а есть функции, которые будут полезны всегда и везде, не зависимо от вашей специальности и вида расчетов.

В Microsoft это тоже понимают, поэтому собрали такие функции не просто в отдельный набор, который называется «Автосумма» но и разместили его в различных местах интерфейса программы Excel.

В «Автосумму» входят функции: , и .

Группу функций «Автосумма» можно найти на вкладке «Главная» в группе «Редактирование».

Группа функций «Автосумма» представлена на вкладке «Формулы» в группе «Библиотека функций».

Функция СУММ (SUM)

Формула предписывает программе Excel порядок действий с числами, значениями в ячейке или группе ячеек. Без формул электронные таблицы не нужны в принципе.

Конструкция формулы включает в себя: константы, операторы, ссылки, функции, имена диапазонов, круглые скобки содержащие аргументы и другие формулы. На примере разберем практическое применение формул для начинающих пользователей.

Формулы в Excel для чайников

Чтобы задать формулу для ячейки, необходимо активизировать ее (поставить курсор) и ввести равно (=). Так же можно вводить знак равенства в строку формул. После введения формулы нажать Enter. В ячейке появится результат вычислений.

В Excel применяются стандартные математические операторы:

Символ «*» используется обязательно при умножении. Опускать его, как принято во время письменных арифметических вычислений, недопустимо. То есть запись (2+3)5 Excel не поймет.

Программу Excel можно использовать как калькулятор. То есть вводить в формулу числа и операторы математических вычислений и сразу получать результат.

Но чаще вводятся адреса ячеек. То есть пользователь вводит ссылку на ячейку, со значением которой будет оперировать формула.

При изменении значений в ячейках формула автоматически пересчитывает результат.

Оператор умножил значение ячейки В2 на 0,5. Чтобы ввести в формулу ссылку на ячейку, достаточно щелкнуть по этой ячейке.

В нашем примере:

1. Поставили курсор в ячейку В3 и ввели =.
2. Щелкнули по ячейке В2 – Excel «обозначил» ее (имя ячейки появилось в формуле, вокруг ячейки образовался «мелькающий» прямоугольник).
3. Ввели знак *, значение 0,5 с клавиатуры и нажали ВВОД.

Если в одной формуле применяется несколько операторов, то программа обработает их в следующей последовательности:

• %, ^;
• *, /;
• +, -.

Поменять последовательность можно посредством круглых скобок: Excel в первую очередь вычисляет значение выражения в скобках.



Как в формуле Excel обозначить постоянную ячейку

Различают два вида ссылок на ячейки: относительные и абсолютные. При копировании формулы эти ссылки ведут себя по-разному: относительные изменяются, абсолютные остаются постоянными.

Находим в правом нижнем углу первой ячейки столбца маркер автозаполнения. Нажимаем на эту точку левой кнопкой мыши, держим ее и «тащим» вниз по столбцу.

Отпускаем кнопку мыши – формула скопируется в выбранные ячейки с относительными ссылками. То есть в каждой ячейке будет своя формула со своими аргументами.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

На данном уроке мы рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала . Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости я часто буду говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.

Кроме того, на странице присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешность вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах. Физики, где ваши аплодисменты? =)

Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с урока Как найти производную? Также рекомендую прочитать статью Простейшие задачи с производной , а именно параграфы о нахождении производной в точке и нахождении дифференциала в точке . Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать Эксель, но в данном случае он менее удобен.

Практикум состоит из двух частей:

– Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной.

– Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных.

Кому что нужно. На самом деле можно было разделить богатство на две кучи, по той причине, что второй пункт относится к приложениям функций нескольких переменных . Но что поделать, вот люблю я длинные статьи.

Приближенные вычисления
с помощью дифференциала функции одной переменной

Рассматриваемое задание и его геометрический смысл уже освещёны на уроке Что такое производная? , и сейчас мы ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.

В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через . Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:

Пример 1

Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала :

Начинаем разбираться, здесь всё просто!

На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение .

Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:
– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.

В качестве подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело . Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: . Действительно: .

Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае ), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор: .

Если , то приращение аргумента: .

Итак, число 67 представлено в виде суммы

Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее:

Дифференциал в точке находится по формуле:
– тоже можете переписать к себе в тетрадь.

Из формулы следует, что нужно взять первую производную:

И найти её значение в точке :

Таким образом:

Всё готово! Согласно формуле :

Найденное приближенное значение достаточно близко к значению , вычисленному с помощью микрокалькулятора.

Ответ:

Пример 2

Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за , а какое – за . Следует отметить, что в данном примере будет отрицательным.

У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена, калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из местного политехнического института году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физмате, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт.

Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =)

Пример 3

в точке . Вычислить более точное значение функции в точке с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Фактически то же самое задание, его запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала»

Решение: Используем знакомую формулу:
В данном случае уже дана готовая функция: . Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать .

Значение необходимо представить в виде . Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается . И, следовательно: .

Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке.

Находим первую производную:

И её значение в точке :

Таким образом, дифференциал в точке:

В результате, по формуле :

Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Абсолютная и относительная погрешность вычислений

Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле:

Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону.

Относительная погрешность вычислений находится по формуле:
, или, то же самое:

Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами.

После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции с помощью дифференциала.

Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
, строго говоря, значение всё равно приближенное, но мы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются.

Вычислим абсолютную погрешность:

Вычислим относительную погрешность:
, получены тысячные доли процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение.

Ответ: , абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями.

Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом:

Пример 5

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке

Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание:

Пример 6

Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой.

Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах . Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например, и т. д.

Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу

Записываем очевидную функцию

Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций . Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики.

Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам:

Таким образом:

После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы . Так, и только так!

В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: (формулы можно найти в той же таблице).

Дальнейшее шаблонно:

Таким образом: (при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.

Ответ:

Пример 7

Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения.

Приближенные вычисления
с помощью полного дифференциала функции двух переменных

Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта.

Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка , куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение .

Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки.

Пример 8

Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а .

А вот и рабочая формула:

Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же !

По условию требуется найти приближенное значение функции в точке .

Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели:
,

Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка:
,

И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть – надо его съесть.

Вычислим значение функции в точке :

Дифференциал функции в точке найдём по формуле:

Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке .

Вычислим частные производные первого порядка в точке :

Полный дифференциал в точке :

Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке :

Вычислим точное значение функции в точке :

Вот это значение является абсолютно точным.

Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье.

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:

Пример 9

Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.

Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: . Общая закономерность такова – чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой.

Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).

Пример 10

Решение : Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:

Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: . Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.

Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , .
Значение 0,9919 близко к «единице», следовательно, полагаем: , .

Вычислим значение функции в точке :

Дифференциал в точке найдем по формуле:

Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке .

Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:

;

.

Полный дифференциал в точке :

Таким образом, приближенное значение данного выражения:

Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527

Найдем относительную погрешность вычислений:

Ответ: ,

Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной.

Пример 11

С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий – это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации:

Пример 12

С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если

Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения.

Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах.

Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,

Таким образом:
Ответ:

Пример 4: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,