Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С , элемент которой, находящийся на пересечении i -й строки и j -го столбца, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j -го столбца матрицы В .
Из этого определения следует формула элемента матрицы C :
Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ .
Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B , если
,
.
Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:
На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B , произведения которых складываются для получения элемента матрицы C .
В результате получаем элементы произведения матриц:
Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:
.
Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .
Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:
Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:
В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .
Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C , которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:
а) 2 Х 10 и 10 Х 5;
б) 10 Х 2 и 2 Х 5;
Пример 3. Найти произведение матриц A и B , если:
.
A B - 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 2 X 2.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Найденное произведение матриц: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 5. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 2, число столбцов в матрице B C = AB - 2 X 1.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 6. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 3, число столбцов в матрице B - 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 3 X 3.
Вычисляем элементы матрицы C = AB .
Найденное произведение матриц: 
.
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Пример 7. Найти произведение матриц A и B , если:
.
Решение. Число строк в матрице A - 1, число столбцов в матрице B - 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 1 X 1.
Вычисляем элемент матрицы C = AB .
Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн .
Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке "Компьютеры и программирование".
Возведение матрицы в степеньВозведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n -ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:
Пример 8. Дана матрица . Найти A ² и A ³ .
Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 9.
Дана матрица 
Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.
Свойства произведения двух матрицСвойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А, т.е. АЕ = ЕА = А.
Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.
Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы
на единичную матрицу справа и слева.
Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где
-
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С
= АЕ
:
Получается, что АЕ = А .
Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :
Это одна из самых распространенных операций с матрицами. Матрица, которая получается после умножения, называется произведением матриц.
Произведением матрицы A m × n на матрицу B n × k будет матрица C m × k такая, что элемент матрицы C , находящийся в i -ой строке и j -ом столбце, то есть элемент c ij равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -ого столбца матрицы B .
Процесс умножения матриц возможен только в случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?
m = n , значит, умножать данные матрицы можно.
Если же матрицы поменять местами, то, при таких матрицах, умножение уже не будет возможно.
m ≠ n , таким образом, выполнять умножение нельзя:
Довольно часто можно встретить задания с подвохом, когда ученику предлагается умножить матрицы , умножение которых заведомо невозможно.
Обратите внимание, что иногда можно умножать матрицы и так, и так. К примеру, для матриц, и возможно как умножение MN , так и умножение NM.
Это не очень сложное действие. Умножение матриц лучше понимать на конкретных примерах, т.к. только определение может сильно запутать.
Начнем с самого простого примера:
Необходимо умножить на . Первым делом приведем формулу для данного случая:
- здесь хорошо прослеживается закономерность.
Умножить на .
Формула для этого случая: .
Умножение матриц и результат:
В результате получена т.н. нулевая матрица.
Очень важно помнить, что здесь не работает «правило перестановки мест слагаемых» так как почти всегда MN ≠ NM . Поэтому, производя операцию умножения матриц их ни в коем случае нельзя менять местами.
Теперь рассмотрим примеры умножения матриц третьего порядка:
Умножить 
на .
Формула очень похожа на прошлые:
Решение матрицы: 
.
Это тоже самое умножение матриц, только вместо второй матрицы берется простое число. Как можно догадаться, такое умножение выполнять гораздо проще.
Пример умножения матрицы на число:
Тут все понятно - для того, чтобы умножить матрицу на число , необходимо каждый элемент матрицы последовательно умножить на указанное число. В данном случае - на 3.
Еще один полезный пример:
- умножение матрицы на дробное число.
Первым делом покажем то, чего делать не надо:
При умножении матрицы на дробное число не нужно вносить дробь в матрицу, так как это в первую очередь только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем.
И, тем более, не нужно делить каждый элемент матрицы на -7:
.
Что стоит сделать в данном случае - это внести минус в матрицу:
.
Если бы у вас был пример, когда все элементы матрицы делились бы на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.
В данном примере можно и нужно умножить все элементы матрицы на ½, т.к. каждый элемент матрицы делится на 2 без остатка.
Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление - это частный случай умножения.
Умножать две матрицы можно только при условии, что в первой из них ровно такое же количество столбцов, сколько строк во второй. Сами же значения при этом могут быть не только целыми, но и дробными. Получив расшифровку вычисления этой задачи, вы сможете понять, как происходит перемножение. Это сэкономит ваше время и поможет лучше разобраться в вычислительных тонкостях.
Допустим, у вас имеется две матрицы, и вам предстоит найти их произведение. Сделать это оперативно и с наивысшей точностью вам поможет данный онлайн-калькулятор. Он не просто умножит две матрицы без затруднений за пару минут, но и позволит вам детальнее разобраться в самом алгоритме этих расчётов. Таким образом, применение онлайн-калькулятора способствует закреплению пройденного в теории материала. Можно также сначала производить вычисления вручную, а затем проверять их здесь, это превосходная тренировка для мозга.
Инструкция пользования данным онлайн-калькулятором не представляет сложности. Чтобы умножить матрицы онлайн для начала укажите количество имеющихся столбцов и строк в первой матрице посредством нажатия на иконки «+» или «-» слева от матрицы и под ней. Затем введите числа. Повторите те же операции для второй матрицы. Далее остаётся лишь кликнуть кнопку «Вычислить» - и перед вами откроется искомое значение вместе с детальным алгоритмом вычислений.
1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!
Определение матрицы
Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.
Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.
Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.
Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.
Операции сложения и вычитания матриц
Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.
Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.
На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:
Операция умножения матриц
Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:
И пример с реальными числами. Умножим матрицы:
Операция транспонирования матрицы
Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:
Определитель матрицы
Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!
Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.
А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.
Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.
Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.
Загрузка...